確率・・・

もう確率は平気だろう、と思った矢先落としてしまった。

1分ごとに赤、青、黄の3色のうちいずれか1色が点灯するランプがあり、いずれか1色が点灯してから1分後に、同じ色が点灯する確率は1/5であり、他の2色のうちいずれか1色が点灯する確率は2/5である。午前10時ジャストにこのランプの赤色が点灯し、3分後に青色が点灯したとき、青色が点灯した2分前の午前10時1分に黄色が点灯した確率はいくらか。

【東京都I類B 2008】

3分後に青が点灯する確率をP(B)とし、10時1分に黄色が点灯する確率をP(Y)として、青が点灯しつつ黄色が点灯する確率P(B∧Y)=P(B)P_B(Y)が成り立つ。求めるのは、P_B(Y)である。

まずP(B∧Y)はいくらか。
赤・黄・〇・青で、〇の中には3通りはいるから、この3通りの確率を足せばいいはず。
2/5*1/5*2/5=4/75と2/5*2/5*2/5=8/75と2/5*2/5*1/5=4/75を足すと、16/75。

で、P(B)を求めるのが非常に難しいのである。同じ物を含む組み合わせの求め方を忘れてしまっていたが、これは組み合わせでなくて順列である。3*3*3=27とか感覚的に計算してしまったが、正しくは3³=27である。で、とにかく全てが27個だから、最後に青がくるのは9個未満で足りるかなという予想がつく。

赤赤赤青 1/5*1/5*2/5=2/75
赤赤青青 1/5*2/5*1/5=2/75
赤青青青 2/5*1/5*1/5=2/75
赤黄黄青 2/5*1/5*2/5=4/75
赤黄青青 2/5*2/5*1/5=4/75
赤赤黄青 1/5*2/5*2/5=4/75
赤黄赤青 2/5*2/5*2/5=8/75

合計、26/75

16/75=26/75*P_B(Y)で、答えは8/13

・・ん、なんか答えが合わないなと思ってみたら数え落としてる模様。

赤赤赤青 1/5*1/5*2/5=2/75
赤赤青青 1/5*2/5*1/5=2/75
赤赤黄青 1/5*2/5*2/5=4/75
赤青赤青 2/5*2/5*2/5=8/75
赤青青青 2/5*1/5*1/5=2/75
赤青黄青 2/5*2/5*2/5=8/75
赤黄黄青 2/5*1/5*2/5=4/75
赤黄青青 2/5*2/5*1/5=4/75
赤黄赤青 2/5*2/5*2/5=8/75

42/75で、16/75=42/75*P_B(Y)
答えは、8/21

独立反復試行

暗記させるのが大好きなスー過去は独立という言葉をつけずに、反復試行の公式を載せている。しかし、受験生に事象が独立なのかそうでないかをきちんと見極めさせることが何より大事だろう。特にそれによって答えが大きく変わるのだから・・・。4～5週目で受験生が自分で調べて初めて「あ、そういうことなのか」と分かるようでは駄目だ。独立反復試行は、_nC_r*(P)ⁿ*(1-P)^rという公式を覚えればいいのであり、実はこの公式を覚える事自体はそれほど難しくないのだけど、丸暗記せずに、だいぶ昔にも書いたアプローチで考えると、組み合わせや順列を用いるのが苦手で、感覚的に確率をとらえる俺には向いている。

あるサッカー選手が、ゴールから一定の位置にあるボールを1回蹴るとき、ボールがゴールに入る確率は1/3である。この選手が同じ位置からボールを4回蹴るとき、ボールが2回以上入る確率として正しいのはどれか。
【東京都I類A 2009年】

ボールが2回入る場合は、1/3*1/3*2/3*2/3=4/81。そして4回中2回でどのタイミングでゴールに入るに対して、同じものを含む順列の考えで、4!/2!2!の6通りあるから、24/81。
ボールが3回入る場合は、1/3*1/3*1/3*2/3=2/81。これは4!/3!通りで、8/81。
ボールが4回入る場合は、1/3*1/3*1/3*1/3=1/81。

合計すると、33/81=11/27。

確率

例えば、こんな問題があるとして、

10本中4本当たりくじがあって、2本引いて2本とも当たりの確率は幾らか。

俺はなんとなく、4/10*3/9=12/90=2/15で解いてしまう。これは、まず最初に当たりくじを引く可能性が4/10、そして2回目も当たりくじの可能性は3/9だから、というのが感覚的に頭の中にイメージされるからである。この解き方は、調べてみると、どうやら解き方としては順列の考えに近いらしい。

分母が₁₀P₂=10!/8!=10*9=90
分子が₄P₂=4!/2!=12
12/90=2/15

しかし、数式が似ているだけで、考え方の根拠としてはやはり順列を用いているとは厳密には言えない。んで、これとはまた別に組み合わせを利用した方法がある。

10本のくじから2本を引く組み合わせは、₁₀C₂=45
4本の当たりから2本を引く組み合わせは、₄C₂=6
6/45=2/15

で、確率を解くときは、どれを使うべきなのだろうか？結論はどれでもいいらしいが、簡単に調べてみたところ、大抵の人間は組み合わせの使い方をするとかいう意見がある。

http://questionbox.jp.msn.com/qa72967.html

もし、そういうことでしたら、「迷うような問題は、大抵はどちらを使っても解ける」ということになります。（順列と組み合わせの意味の違いは、vitamin-powerさんのご解説通りです）

例えば、こんな問題を考えてみましょう。

 

[問い]５人の中から２人の委員を選ぶとき、その２人がＡさんとＢさんになる確率を求めよ。

 

問題としては単純なものですが、大半の人は「組み合わせ」を使って解かれることでしょう。

つまり「５人の中から２人を選ぶ組み合わせ」が「5C2=10」、「委員の２人がＡさんとＢさんである組み合わせ」が「１通り」。

だから、「1/10」ですよね？

・・・うーん。

ややこしい

IS曲線とLM曲線で前者が右下がり、後者が右上がりになることは疑いようがない。しかし、線の上下のどっちが需要過剰で供給過多なのかは若干ややこしいというか結論が反対になっている。

LM曲線は、貨幣市場の需給均衡はM/P=L₁(Y)+L₂(r)である。今、均衡点から→の水平方向に伸ばしたとある点上に経済があるとしたら、均衡状態のY*よりYが増加しているから、貨幣需要が増えて、需要過多になる。また、↓の垂直に伸ばしたとある点にあるとしたら、rが低い=債権が高い＝貨幣需要が増えるで需要過多。経済が均衡点より←や↑にある場合は逆になる。

ところが、IS曲線は同じ考え方だと駄目というか、LMと違い両辺とも変数なことに注意しないといけない。すなわち、Y=C(Y)+I(r)では、Yが変数なのであるから、Y-C(Y)=I(r) →S(Y)=I(r)にする。ここでYが増加すると貯蓄が増える。ということは、均衡点から→方向にある点では、需要が過小になってないといけない。↑方向にあると、利子率が高いから需要が減るのは分かりやすい。

インフレデフレギャップ

経済のスー過去をまともに解いたのは1年以上前であることに気づき、そろそろと思って頭から解いている。ただ、
確か昔にも書いた気がするが・・・、解説に納得できないところが。

マクロ経済モデルが以下のように与えられている。
Y=C+I+G
C=0.8(Y-T)
I=20
G=10
今、政府が均衡財政を維持していたとして、完全雇用国民所得が120であるとすると、経済はどのような状態にあるか。
1  2のインフレギャップ
2  8のインフレギャップ
3  12のデフレギャップ
4  6のデフレギャップ
5  2のデフレギャップ

【市役所 2004年】

この問題は選択肢からしてインフレデフレギャップを求めればいいのだから、完全雇用国民所得のときの総需要から計算する。
D=0.8(Y-10)+30で、Y=120より、D=118
で、総供給は、S=Yだから、S=120
んで、S>Dだから、デフレ、その差は2。これで答えが出る。

しかしスー過去の解説だと、まずは均衡国民所得から求めさせている。・・・意味あんのか？

人の長さ

1年ぐらい前にも同じような記事書いた気がするが、調べるのが面倒くさいのでついでに今も書こう。

階段と時速1.8kmで動いている上りのエスカレーターが並んでいる通路で、エスカレーターに乗っている人が、会談を降りてきた5人の列とすれ違った。このとき、1人目から5人目まですれ違うのに5秒かかった。また、この5人の列は、時速720mで階段を降りている人を10秒かかって追い越したとすると、5人の列の長さはどれか。ただし、列の長さは一定とする。【地方上級 2006年】
1    3m
2    5m
3    7m
4    9m
5  11m

スー過去は、問題作成しているところが完全に違う（＝傾向が違う）のに、東京都と特別区の問題を地方上級と題して載せているので、これが実務教育出版の粗悪な復元によるのか、それとも本当にこういう問題が出たかは定かではない。ただし、出題に曖昧なところが多すぎるように思う。

人が5人並んだら長さがある＝人が1人だけでも長さがあるはずとすると・・・
時速1.8km=分速1800/60m=秒速30/60m=0.5m
時速720m=分速12m=秒速0.2m
人間1人辺りの長さをlとし、5人の列の長さを5lとすると、
6l=5(0.5+v)
6l=10(v-0.2)
∴v=9/10
∴l=7/6
となって答えが合わなくなってしまう。

よって人が5人並べば長さはあるが、1人だけだと長さはないという前提で式を組むと、
5l=5(0.5+v)
5l=10(v-0.2)
∴v=9/10
∴l=7/5で、5l=7

しかし、この問題は、やはり人が5人集るときの長さを考慮するならば、1人分の長さを捨象するべきではないはずなのだ。