確率・・・

もう確率は平気だろう、と思った矢先落としてしまった。

1分ごとに赤、青、黄の3色のうちいずれか1色が点灯するランプがあり、いずれか1色が点灯してから1分後に、同じ色が点灯する確率は1/5であり、他の2色のうちいずれか1色が点灯する確率は2/5である。午前10時ジャストにこのランプの赤色が点灯し、3分後に青色が点灯したとき、青色が点灯した2分前の午前10時1分に黄色が点灯した確率はいくらか。

【東京都I類B 2008】

3分後に青が点灯する確率をP(B)とし、10時1分に黄色が点灯する確率をP(Y)として、青が点灯しつつ黄色が点灯する確率P(B∧Y)=P(B)P_B(Y)が成り立つ。求めるのは、P_B(Y)である。

まずP(B∧Y)はいくらか。
赤・黄・〇・青で、〇の中には3通りはいるから、この3通りの確率を足せばいいはず。
2/5*1/5*2/5=4/75と2/5*2/5*2/5=8/75と2/5*2/5*1/5=4/75を足すと、16/75。

で、P(B)を求めるのが非常に難しいのである。同じ物を含む組み合わせの求め方を忘れてしまっていたが、これは組み合わせでなくて順列である。3*3*3=27とか感覚的に計算してしまったが、正しくは3³=27である。で、とにかく全てが27個だから、最後に青がくるのは9個未満で足りるかなという予想がつく。

赤赤赤青 1/5*1/5*2/5=2/75
赤赤青青 1/5*2/5*1/5=2/75
赤青青青 2/5*1/5*1/5=2/75
赤黄黄青 2/5*1/5*2/5=4/75
赤黄青青 2/5*2/5*1/5=4/75
赤赤黄青 1/5*2/5*2/5=4/75
赤黄赤青 2/5*2/5*2/5=8/75

合計、26/75

16/75=26/75*P_B(Y)で、答えは8/13

・・ん、なんか答えが合わないなと思ってみたら数え落としてる模様。

赤赤赤青 1/5*1/5*2/5=2/75
赤赤青青 1/5*2/5*1/5=2/75
赤赤黄青 1/5*2/5*2/5=4/75
赤青赤青 2/5*2/5*2/5=8/75
赤青青青 2/5*1/5*1/5=2/75
赤青黄青 2/5*2/5*2/5=8/75
赤黄黄青 2/5*1/5*2/5=4/75
赤黄青青 2/5*2/5*1/5=4/75
赤黄赤青 2/5*2/5*2/5=8/75

42/75で、16/75=42/75*P_B(Y)
答えは、8/21