教養数的と経済学

国家II種～国税専門官の教養の数的は、よく経済学の微分して0と置いて最大化というのを利用すれば解ける問題が出てくる。去年の都庁I類Aの教養でも出てきた。

石油を1日150リットル使用する工場がある。石油がなくなったら一定量の石油を注文し、即座に工場に届けて、その石油を工場内に保管しながら使用してゆき、なくなったら再び一定量の石油を注文し、即座に工場に届けるという過程を繰り返す。その際、注文に要する経費は、石油の量によらず1回の注文で12000円であり、また石油を工場内に保管する経費は、1日、1リットル辺り0.1円である。この時、一定期間における注文および保管に要する経費の合計を最小にするには、1回の注文の石油の量をいくらにすればいいか。ただし、xリットル注文した場合、石油が工場に届いてからなくなるまでの間の石油の平均保管量は、0.5xリットルとする。
(国家II種2004年)

この問題は問題文の原文は本当はもう少し長く、式をたてるのが面倒で、なおかつスー過去の解説では相加相乗平均を用いて答えを出しているから、難易度が★★判定になっているが、実は微分して0とおけば簡単に答えが出る。

まず、総コストをCとし、石油を注文する回数をtとしたら、
C=12000円*t+0.1円*0.5x
ここで、150リットル=xtリットルとした場合、
C=12000*150/x+0.05x
これを微分して0と置くと、
dC/dx=1800000/x²-0.05=0
よって、x²=36000000
x>0は間違いないから、x=6000

ただこの問題は式をたてるのがなかなか難しい。150リットル=xtリットルという前提を作るということは、1日単位で考えるということであるけれど、日をまたいで石油を消費していく方法で効率のいい注文の仕方があるであろう可能性がどうしてないと言えるのか。ただ、問題文で、保管費用について、1日あたりの平均費用を与えているから、そういう方向で解くしかないのだが・・・。